Десятичные дроби
Давайте рассмотрим дробь 88/7.
Как мы можем перевести ее в десятичную?
88/7=12,57142857142857142

Сколько бы мы не делили дальше, с равной периодичностью мы будем получать числа 571428.
Понятно, что уместно назвать такие дроби периодическими.
Но когда мы остановимся в делении этого числа?
Бесконечность
На самом деле, никогда. Мы можем делать это сколь угодно долго. Бесконечно.

Бесконечность - в своей сути это отсутствие ограничений на выполнение операции.
Если нет никаких причин тому, чтобы прекратить деление, то результат этого деления можно записывать бесконечное количество раз.

Поэтому такие дроби называются бесконечными периодическими дробями.
Смешанные дроби
Если поделить 3 на 14, то зацикливание произойдет не сразу:
3/14 = 0,2(142857)
Если повторяющаяся группа цифр (период) расположена непосредственно после запятой, то такую десятичную дробь называют чисто периодической.
В противном случае говорят, что дробь имеет предпериод и называют ее
смешанной периодической дробью.
Экскурс в историю
Еще во время учебе в гимназии Гаусс изучал дроби вида 1/p, где p – число, не раскладываемое на 2 и 5.

Такие числа он переводил в бесконечные десятичные дроби.
Как думаете, что он пытался найти?
Он вычислял дробь до тех пор, пока знаки не начнут повторяться.
Ему хотелось понять, как зависит длина периода - сколько цифр будет после запятой - такой дроби от знаменателя.

Полный период даже у p = 47 составляет 46 знаков.
Гаусc же выписал периоды для всех чисел до 1000.
Карл Гаусс
Карл Гаусс – сын бедного немца не только получил образование в колледже, но уже в возрасте 19-ти лет считался лучшим европейским математиком того времени, а сейчас известен под прозвищем "Король математиков".
Он родился 30 апреля 1777 года в немецком герцогстве Брауншвейг, известном своей колбасой.
Считать он научился даже раньше, чем говорить и уже в два года исправлял арифметические ошибки своего отца.
В детстве в нем быстро распознали талантливого ребенка, взяли во второй класс вместо первого, а о самих школьных года Гаусса сложено огромное количество легенд и баек.
Почти всю жизнь Гаусс считал в уме и обладал потрясающими аудиальными способностями: он мог на слух определить ошибку даже в сложнейших вычислениях.
Возможно поэтому Гаусс в совершенстве владел английским, немецким, латинским, французским языками, а в 62 года, чтобы прочитать все труды Лобачевского выучил и русский.
Гаусс прославился не только в математике: он изучал астрономию, открыл новые законы в механике, изучая геометрию создал новую науку геодезию, и доказал важнейшие законы математики.
Ценим мы его не за сами открытия: талантливых и деятельных математиков в разное время было достаточно.
Примечателен Гаусс именно тем, что всего открытия до сих пор крайне востребованы в современной жизни.
А раз так, то их сложно будет понять сейчас, но некоторые алгебраические действия Гаусса мы рассмотрим сейчас, чтобы самим лучше понимать математику.
Длина периода
Главная закономерность, которую он обнаружил, состоит в том, что длина наименьшего периода такой дроби является делителем числа p – 1, иногда совпадая с ним.
​Давайте повторим действия Гаусса.
Начнем с правильных дробей со знаменателем 7.
Что вы видите?
Одни и те же цифры переставлены местами.
В математике это называется циклическим сдвигом.
1/7 = 0,(142857),
2/7 = 0,(285714),
3/7 = 0,(428571),
4/7 = 0,(571428),
5/7 = 0,(714285),
6/7 = 0,(857142).
Совпадение?
Разумеется, это не случайно.
Возьмем вместо 7, например, 41.
Вычисляем, 1/41 = 0,(02439).
А теперь давайте прокрутим период и переведем дробь обратно в соотношение:
0,(24390) = 10/41,
0,(43902)= 18/41,
0,(39024)= 16/41,
0,(90243) = 37/41.
Лемма Гаусса
Получили цикл из пяти чисел: 1, 10, 18, 16, 37.

Каждое число этого цикла - это остаток от деления удесятеренного предыдущего на 41.

Если бы мы начали с 2/41, то получили бы другой цикл: 0,(48780).
Всего для p = 41 получаем 8 циклов, по 5 дробей в каждом.

В общем случае если натуральное число n взаимно просто с 10 и отлично от 1, то все правильные несократимые дроби со знаменателем n разбиваются на циклы с одинаковыми периодами в каждом.
Задание 1
Найдите все шестизначные числа, которые уменьшаются втрое при перенесении последней цифры на первое место.
Решение
Очевидно, что это связано с рассмотренной нами темой.
Есть и другие варианты решения этой задачи, но намного проще будет перенести рассматриваемое число в период дроби.
Представим наше число как abcdef.
Тогда по условию: abcdef = 3·fabcde.
Теперь нам надо перейти к дробям.
Возьмем такое α, которое разлагается в периодическую десятичную дробь с периодом fabcde.

Тогда α = 0,(fabcde)
Дробь у нас периодическая.
Как нам это может помочь?
Рассмотрим к примеру произвольную периодическую дробь:
0,(xyz)
Что нам необходимо сделать, чтобы получить циклический сдвиг в периоде?
Сдвиг - это перенос цифра на разряды.
Что произойдет с этой дробью при умножении на 10?
0,(xyz)*10=x,(yzx)

Иначе можно представить как:
0,(xyz)*10=x+0,(yzx)
Итак, имеем
abcdef = 3·fabcde; a,f≠0
α = 0,(fabcde)
Тогда10α = f,(abcdef) = f + 3α.
Отсюда α = f/7.

Осталось перебрать период дробей от 1/7 до 6/7.
Нужные нам остатки идут от дробей 3/7 и 6/7 и равны соответственно:
428571 и 857142.
Задание 2
Число оканчивается на 2.
Если эту цифру перенести в начало числа, оно удвоится. Найдите наименьшее такое число
Решение
Решаем аналогично предыдущей задаче.
Пусть a₁a₂a₃...aₙ - искомое число. a₁,aₙ≠0
Тогда aₙa₁a₂a₃...aₙ-₁ = 1/2·a₁a₂a₃...aₙ
Рассмотрим число α, которое разлагается в периодическую десятичную дробь с периодом aₙa₁a₂a₃...aₙ-₁:
α = 0,(aₙa₁a₂a₃...aₙ-1)
Тогда 10α = aₙ,(a₁a₂a₃...aₙ-₁aₙ) = aₙ + 1/2 α.
α = 2aₙ/19.
an нам известно как 2.
Отсюда α = 4/19
Период этой дроби и является решением, а именно
210 526 315 789 473 684 = 2*105 263 157 894 736 842
Задание 3
Пятизначное число делится на 41.
Докажите, что если его цифры циклически переставить, то полученное число
тоже будет делиться на 41.
Решение
Пусть abcde=41x. a,b,c,d,e≠0
Рассмотрим сдвиг bcdea.
У нас есть единственная зацепка: abcde кратно 41.
Значит, нам необходимо каким-то образом выразить bcdea
Но давайте вспомним, а что такое сдвиг?
Это перенос цифр на другие разряды.
Как мы можем получить bcdea из abcde?
Если мы умножим abcde на 10, то bcde - займут нужные разряды.
Нам надо лишь избавиться от лишних a.
Очевидно, что лишних a будет без единицы сто тысяч.
bcdea=410x-(10⁵-1)a=410x-99999a
99999 кратно 41
99999/41=2439
Так как мы при решении избавились от bcde и выразили a произвольно, то любой сдвиг также будет кратен 41.
Задание 1. Объясните верность этого утверждения.
Задание 2. Могут ли быть в числе abcde b,с,d или e равны 0?
Это доказательство базируется на том факте, что 99 999 кратно 41.
Выбор a не принципиален.
Мы можем выбрать любое число, которое после сдвига находится в разрядах единиц.
На самом деле в числе abcde могут быть нули. Количество возможных сдвигов просто уменьшиться.
Например, 41000 - очевидно кратно 41.
Кратно 41 и число 10004 - единственно возможный сдвиг.
Десятичные дроби
Как вы думаете, любая ли дробь при переводе в десятичный вид будет иметь период?
Давайте сократим дроби
9/5 = 1,8
29/4 = 7,25
33/10 = 3,3
Конечные дроби
Что мы видим?
Мы видим, что такое деление имеет конечный результат.
Но как вы думаете, почему мы рассмотрели сейчас именно эти примеры?
Что в них общего?
9/5 = 1,8
29/4 = 7,25
33/10 = 3,3
Разрядность системы
Делители 2 и 5.
Кто догадается, почему именно эти делители дают нам конечный результат?
Дело в том, что мы находимся в десятичной системе счисления.
То есть, мы считаем до 10.
Число 10 можно представить произведением двух простых множителей: 2 и 5.
Как мы сформулируем правило?
Любые дроби, имеющие в знаменателе число, раскладываемое только на простые множители, составляющие основу системы счисления, конечны.
Соответственно, по принципу от противного: все дроби, имеющие в знаменателе хотя бы один простой множитель отличный от множителей основы системы счисления, бесконечны и периодичны.
Другие системы
Чтобы понять это, давайте рассмотрим семиричную систему счисления.
Тогда, как мы запишем порядок чисел?
1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 20 и так далее
Например, рассмотрим деление чисел =9/7.
В семиричной системе это будет записано как 12/10
Очевидно, что частное будет равно 1,2.
С другой стороны
А давайте подойдем к вопросу с другой стороны:
можем ли мы придумать еще какие-нибудь числа?
Давайте фантазировать.
Сочините любое такое число, чтобы цифры после запятой не образовывали период, например: 0,0140234023475012032043…
Бесконечность
Давайте вспомним определение бесконечности, которое мы дали немного ранее.

Бесконечность - это отсутствие ограничения на операцию.
Но можем ли мы писать после запятой числа таким образом, чтобы нельзя было выявить закономерности?
Да, потому что этому нет никаких здравых ограничений.
Нет никакой причины, по которой мы не можем так делать.
Это умозрительное суждение, которое требует проверки и доказательства.
Оно настолько сложное, что его получилось сформулировать лишь у немецкого математика Георга Кантора в 19 веке.
Иррациональность
Но что же не так с такими числами?
0,0140234023475012032043…
Не так то, что мы не можем его представить в виде соотношения никаких двух натуральных чисел.
Числа, которые не имеют соотношения и называются несоизмеримыми или иррациональными.
Ир - отрицательная приставка, рацио - отношение.
Иррациональность - что-то не имеющее соотношение.
Экскурс в историю
Такие числа были известны еще древним грекам.
Согласно легенде греки скрывали от простолюдин эту информацию.
Она настолько не укладывалась в голове, что просто могла шокировать граждан.
Впервые, несоизмеримость заметили при попытке вычислить сторону квадрата с площадью 2.
Очевидно, что ничто не запрещает нам создать квадрат с такой площадью.
площадь квадрата определяется как S=a²
Где a - сторона квадрата.
То есть, площадь квадрата равна квадрату стороны.
Чтобы найти a, надо извлечь квадратный корень из S.
Квадратный корень из двойки очевидно не равен целому числу.
Но есть ли такое отношение двух чисел a/b, которое является решением?
Доказательство 1
Чтобы доказать несоизмеримость √2, необходимо привести к противоречию равенство 2= a²/b², где a и b – натуральные числа.)
Вот это доказательство. Если 2b²=a², то число a2 a четное. Поскольку квадрат любого нечетного числа нечетен, то и само число a обязательно четное, т.е. a = 2c, где c – натуральное число. Значит, 2b²=(2c)²=4c²
откуда b²=2c². Теперь четным числом должно быть число b, т.е. b = 2d, где d – натуральное число.
Теперь (2d)²=2c²
2d²=c².
И так делить пополам можно бесконечно.
Очевидно, что продолжая это деление мы попадем в противоречие - рано или поздно начальный a и b перестанут быть натуральными числами.
Доказательство 2
Примененный нами метод доказательства называют методом бесконечного спуска.
Можно зайти и немного с другой стороны.
Давайте воспользуемся методом подбора.
Долго ли коротко ли, но мы подберем, что-то вроде 1,41...*1,41...=2
Пусть 1,41... - можно представить в виде дроби.
Значит, должны существовать такие a и b, что (a/b)²=2.
При этом дробь a/b такая, что ее нельзя сократить. То есть, a и b взаимно просты.
Избавимся от знаменателя и получим:
a²=2b²
Значит a - четное число и его можно представить как a=2c
Подставим вместо a в a²=2b² 2с и получим
4c²=2b²
Откуда видим, что b²=2c²
А значит и число b четное.
В чем проблема?
(a/b)²=2, где a и b - четные числа, а значит дробь можно сократить хотя бы на 2, а значит а и b не взаимно просты.
Что в итоге противоречит условию.
Доказательство 3
Но куда проще просто нарисовать данный квадрат.
Стенли Тенненбаумом американский математик дал удивительное
геометрическое доказательство иррациональности числа.
Сумма площадей двух квадратов со стороной b должна равняться площади всего квадрата.
Но у нас два квадрата лежат внахлест.
Что это значит?
Это значит, что перекрываемая область, выделенная красным цветом по площади должна быть равна остаткам, выделенным синим цветом.
Не надо обладать шикарным глазомером, чтобы увидеть, что это явно не так.
Конечно, мы можем от рисунка перейти к алгебре и доказать это противоречие в лоб вычислениями.
Тогда мы попадем в ту же самую ситуацию с бесконечным спуском и рано или поздно, сторона квадрата a станет меньше единицы, а это значит, что такого натурального числа просто не существует.
Алгебраически выразить равенство синих и красного квадратов можно так:
(2b-a)²=2(a-b)².
Раскрывая скобки, получим:
4b²-4ba+a²=2a²+2b²-4ab
Что приводит нас к равенству:
2b²=a²
И мы опять возвращаемся к спуску.
Иррациональность√3
Геометрически удобно доказать также и несоизмеримость дроби a²/b²=3.
Тогда, что в общем-то не очень удивительно, мы переходим к рассмотрению треугольника.
Тогда построим равносторонний треугольник со стороной a, разместив в углах 3 равносторонних треугольника со стороной b.
Опять-таки видим, что синие и красные области не равны.
Иррациональность√5
А как нам доказать иррациональность 5? a²/b²=5.
К какой фигуре мы должны перейти для рассмотрения?
С двойкой мы смогли обойтись квадратом, с тройкой - мы можем обойтись треугольниками, но для доказательства иррациональности 5 придется построить 5-угольник.
Расположив во всех пяти углах правильного пятиугольника со стороной a правильные пятиугольники со сторонами длины b, мы получаем не только непокрытый 5-угольник в центре, но и 5 треугольников.
Расположив во всех пяти углах правильного пятиугольника со стороной a правильные пятиугольники со сторонами длины b, мы получаем не только непокрытый 5-угольник в центре, но и 5 треугольников.
Отразив каждый из синих треугольников относительно вершины, как показано на рисунке, мы получаем пять красных пятиугольников, сумма площадей которых равна площади
синего пятиугольника.
Иррациональность√6
Наконец, мы подошли к иррациональности числа √6.
Расположим шесть желтых треугольников со сторонами длины b в одном большом, со стороной a.
Обратите внимание, что один треугольник выделен зеленым. Это сделано потому, что он перекрывается трижды, а не дважды, как все красные и про это нельзя забывать.
Сумма площадей трех синих
треугольников равна увосьмеренной площади красного треугольника.
Удваивая, видим, что ушестеренная площадь синего треугольника в 16
раз больше площади красного
треугольника.
Но из 16 красных треугольников можно собрать один большой равносторонний треугольник, а это значит, что мы уже перешли к бесконечному спуску.
Посмотрите, если мы берем 6 синих треугольников, то их закрывают 16 красных.
На рисунке у нас 6 красных и 1 зеленый. Умножая на два, мы получаем 12 красных и 2 зеленых, то есть 15 красных. Противоречие достигнуто.
Задание 1
Докажите методом математического спуска
иррациональность √3.
Задание 2
Докажите методом математического спуска
иррациональность √3.
Задание 3
Докажите методом математического спуска
иррациональность √3.
Задание 4
Убедитесь, что красные пятиугольники на рисунке равносторонние.
Решение 1-3
Иррациональность √3 определяется из формулы: если a²=3b², то (3b-2a)²=3(a-2b)².
Иррациональность √5 определяется из формулы: если a²=5b², то (5b-2a)²=5(a-2b)².
Иррациональность √6 определяется из формулы: если a²=6b², то (2(3b-2a))²=6(a-2b)²
Решение 4
Докажем, что три соседние стороны в равноугольном красном пятиугольнике равны – отсюда нетрудно получить, что он тогда и равносторонний.
Поскольку желтые пятиугольники правильные, все их углы равны 108°. Поэтому синие треугольники – равнобедренные с углами при основании, равными 72° (180-108), и углом 36°(180-2*72) при вершине.
Изобразим один из синих треугольников отдельно.
Биссектриса AD делит его на два равнобедренных: ADB и DAC, откуда AC = AD = BD.
По свойству биссектрисы AC/CD=AB/BD.
Примем AС за х, а CD за y.
Получим пропорцию: x/y=(x+y)/x.
Избавимся от знаменателя, домножив на x/y получим: x²/y-x/y-1=0
Введем замену x/y=z.
Тогда z²-z-1=0.
Отсюда z=1/2*(√5+1).
Вернемся к красным пятиугольникам.
У любого из них сторона, примыкающая к зеленому треугольнику, совпадает с основанием синего треугольника, т.е. равна a – 2b
Длина соседней стороны красного пятиугольника равна тогда: b-(√5+1)*(a-2b).
Вспомним, что по условию, a=√5b, преобразуем выражение
b-(√5+1)*(a-2b)=b(√5-2), то есть снова a-2b.
Значит, в красном пятиугольнике одна из
сторон равна двум соседним, что и требовалось.
Георг Кантор
Георг Кантор родился 3 марта 1845 в
Санкт-Петербурге.
Отец его родом из Копенгагена, в Петербурге был известным маклером - играл на бирже, упорно работал, чем и сколотил огромное состояние.
Однако, ничто не проходит даром, когда мальчику было 11 лет, его отец серьезно заболел.
Семья решила переехать в Германию, надеясь на более мягкий климат.
Георг был старшим ребенком в семье, под стать отцу проявлял упорство и трудолюбие.
Еще в Петербурге родители заметили, что их сын крайне любит порядок и сильно увлечен математикой.
С детства Георг виртуозно играл на скрипке, унаследовав от своих родителей значительные художественные и музыкальные таланты.
Разносторонность и одаренность мальчика сеяли большие надежды в сердце отца.
Он руководил образованием сына, предъявляя необычно высокие требования; особую важность придавал он воспитанию энергии, твердости характера и пронизывающей всю жизнь религиозности.

Неудивительно, что когда юный Георг Кантор заговорил о математической карьере, отец был недоволен этим и предложил заниматься чем-то более серьезным и оплачиваемым.
Однако, уготованная для сына профессия инженера, не могла загасить в нем влечения к математике.
Твердый и самоуверенный характер подростка-Кантора обернулся такой же его решительностью и упорством, от чего он не отказывался от своих стремлений до конца.
Перед смертью отец поддержал сына и благословил на математические подвиги, отправив сыну письмо.
Ответ не заставил себя долго ждать:
"Дорогой папа! Ты можешь себе представить, как обрадовало меня твое письмо: оно определяет мое будущее.

Последние дни я провел в сомнении и неуверенности; и не мог прийти ни к какому решению. Долг и влечение постоянно были в борьбе. Теперь я счастлив, видя, что не огорчу тебя, последовав в моем выборе собственной склонности... душа моя, все мое существо живет в моем призвании"
Отец умер, а Кантору была уготована великая судьба математика.
Начав работу учителем, он быстро защитил диссертацию.
Его наставником в университете был сам Вейерштрасс - известный математик, который не мог не восхищаться одиозной страстью своего ученик.
Дальнейшая жизнь Кантора представляет собой череду математических открытий, изменивших мир ученых на "до" и "после".
Он и его сподвижник Рихард Дедекинд войдут в историю как основоположники Теории множеств, а последний великий математик Давид Гильберт напишет
о Канторе: "Никто не изгонит нас из рая, который основал Кантор".
В чем же суть открытий Кантора и почему вся математика теперь держится на них?
Давайте разбираться!


Теория множеств
Кантор пытался упорядочить все вокруг себя. В том числе и математику.
А что было на тот момент в беспорядке?
Ну, например, числа. Их использовали уже на протяжении тысячелетий, толком не понимая, что это такое.
А вы уверены, что понимаете, что значит число 5?
Если с числом 5 проблема не так очевидна, то куда более понятно, что с иррациональными числами ничего не понятно.
Поэтому Кантор решил все числа упорядочить.
А для начала - пересчитать их.
Бесконечность
А можно ли посчитать то, что не имеет конца?
С одной стороны, вопрос кажется глупым.
Конечно нельзя.
А с другой стороны, есть два момента.
  1. Известные математики вообще относились очень плохо к самому понятию бесконечности - надо было еще доказать, что она есть.
  2. Кантор смог пересчитать бесконечность. Для этого он всего лишь придумал "бесконечные" числа.
Трансфиниты
В Теории множеств порядковое число называется ординалом.
Если мы по порядку выпишем натуральные числа, то у числа 1 будет порядковый номер 1, у числа 2 - 2 и так далее.
Если само порядковое число бесконечное, то оно так и называется - трансфинитным - до словно "по ту сторону конца".
Счетность
Кантор попытался посчитать все возможные действительные числа.
Но он не только попытался, но и смог доказать, что это невозможно.
И он не только доказал, что это невозможно, он еще и объяснил, что нам это дает.
Упрощенно, так как множество действительных чисел посчитать невозможно, значит там есть какие-то очень необычные числа.
Именно эти числа и называются иррациональными.
Вот как раз-таки иррациональных чисел и есть то несчетное множество.
И как раз они нам и нужны, чтобы множество действительных чисел было полным.
Доказательство
То, что множество действительных чисел несчетно мы сейчас и докажем.
Это доказательство известно как диагональный аргумент Кантора.
Примечательно то, что для того, чтобы доказать, что множество чисел сосчитать невозможно, достаточно лишь доказать это всего на отрезке от нуля до единицы (0,1).
Представим, что мы выписали все-все числа.
Для примера, выпишем в столбик всего 5 произвольных чисел и пронумеруем их.
Допустим,
0,123
0,57434
0,915543
0,7 и так далее.
(Нули уберем, чтобы не запутаться, они здесь не важны).

Выделим в таблице диагональ, такую что, каждая выделенная клетка в строке равна порядковому номеру числа.
В строке 1 - первая клетка,
в строке 2 - вторая и тд.
Получим бесконечно длинное число, 0,1750...

Фокус
Просто заменим каждую цифру числа на произвольную.
Например, 1 на 3, 7 на 2, 5 на 2 и так далее.
Пусть получим из 0,1750..
например, 0,3225....
Вот и все доказательство.

В чем же суть?
Дело в том, что мы выписали все возможные числа. Ну мы так предполагаем, верно?
Но среди выписанных чисел числа-то 0,3225.... просто нет.
Хотя он может существовать.
Проверьте сами.

Вывод
Однако оно не может стоять ни в одной из строк таблицы.
Ведь чтобы стоять в первой строке, его первая после запятой цифра должна быть «1», а она «3», чтобы стоять во второй, вторая после запятой цифра должна быть «7», а она «2», и так далее.
Мы нашли неразрешимое противоречие.

Made on
Tilda